Thực đơn
Hàm lượng giác Định nghĩa bằng chuỗiDùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin. Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi góc x đo bằng giá trị radian thực. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng dạng còn lại.
Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác. Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.
Trong bảng dưới, quy ước:
En là số Euler thứ nUn là số lên/xuống thứ nHàm | Định nghĩa | Cụ thể |
sin(x) | ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} | x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots } |
cos(x) | ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}} | 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ {\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots } |
tan(x) | ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) U n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)U_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} | x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + ⋯ {\displaystyle x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots } |
cot(x) | 1 x − ∑ n = 1 ∞ 2 2 n U n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π 2 {\displaystyle {\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}U_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} | 1 x − x 3 − x 3 45 − 2 x 5 945 − ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots } |
sec(x) | 1 + ∑ n = 1 ∞ E n x 2 n ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}x^{2n}}{(2n)!}},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} | 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots } |
csc(x) | 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π 2 {\displaystyle {\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} | 1 x + x 6 + 7 x 3 360 + 31 x 5 15120 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots } |
Thực đơn
Hàm lượng giác Định nghĩa bằng chuỗiLiên quan
Hàm Hàm lượng giác Hàm số Hàm liên tục Hàm Phong Hàm Nghi Hàm ngược Hàm hyperbol Hàm số chẵn và lẻ Hàm số bậc haiTài liệu tham khảo
WikiPedia: Hàm lượng giác http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm http://babbage.clarku.edu/~djoyce/java/trig/ http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ http://www.usfca.edu/vca http://www.usfca.edu/vca/PDF/vca-preface.pdf http://d-nb.info/gnd/4186137-1 http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00570156 http://www.hkshum.net/Math http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopic...